Question

如图，正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC为边的正方形，P、Q为它们的中心，M是BC的中点，试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论．

Answer 1

解：MP、MQ之间的关系是MP=MQ，MP⊥MQ，

证明：取AB得中点H，AC的中点K，连接PH，HM，PM，QK，KM，MQ，
∵P和Q分别为两正方形的中心，
∴△APB与△AQC都为等腰直角三角形，
∴QK=AC，PH=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
又HM与KM都为△ABC的中位线，
∴HM=AC，MK=AB，
∴QK=HM，MK=PH，
∴HM∥AC，MK∥AB，
∴∠BHM=∠BAC，∠CKM=∠BAC，
∴∠BHM=∠CKM，
又PH⊥AB，QK⊥AC（等腰三角形的三线合一），
∴∠PHB=∠QKC=90°，
∴∠BHM+∠PHB=∠CKM+∠QKC，即∠MHP=∠QKM，
∴△MHP≌△QKM（SAS），
∴PM=QM；
设PM与AB交于点O，
∵△MHP≌△QKM，∴∠HPM=∠KMQ，
∵KM∥AB，∴∠AOP=∠PMO，
∵∠PHB=90°，∴∠HPO+∠POH=90°，
∴∠PMK+∠KMQ=90°，即∠PMQ=90°，
∴PM⊥QM．
分析：取AB和AC的中点分别为H和K，连接PH、PM、HM、QK、KM、QM，由正方形的性质可知三角形APB与三角形ACQ都为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PH等于AB的一半，QK等于AC的一半，然后由MH和MK都为三角形ABC的中位线，根据中位线定理得到HM等于AC的一半，MK等于AB的一半，等量代换得到PH=MK，HM=QK，然后由中位线定理得到MH与AC平行，MK与AB平行，根据两直线平行同位角相等，再等量代换得到∠BHM=∠CKM，两边都加上直角，得到∠PHM=∠MKQ，利用SAS即可得到三角形PMH与三角形KQM全等，根据全等三角形的对应边相等得到PM=QM；由全等得到∠MPH=∠QMK，再由MK与AB平行，得到同位角相等，由PH与AB垂直得到一对锐角互余，等量代换得到∠PMK与∠KMQ互余，即∠PMQ为直角，从而得到PM与QM垂直．
点评：本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，三角形的中位线定理，梯形的中位线定理等知识点，综合运用性质进行证明是解此题的关键．