Question

(本题12分)
如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动． 动直线EF从轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥轴），并且分别与轴、线段AB交于E、F点．连结FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．

（1）当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积；
（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（3）设t的值分别取t₁、t₂时(t₁≠t₂)，所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

Answer 1

（1）梯形OPFE的面积为18；（2）当t="5" (在0<t<范围内)时，S_最大值=50.
（3）作FD⊥x轴于D，则四边形OEFD为矩形.
∴FD=OE=t，AF=FD=t. 又AP=3t.
当t=t₁时，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；当t=t₂时，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；
∴，又∠A=∠A，∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.

试题分析：解：设梯形OPFE的面积为S.
(1) 由直线与轴、轴分别交于A、B两点
∴A(20，0)，B(0，20)
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°..
当t=1时，OE=1，AP=3，∴OP=17，EF=BE=19.
∴S=(OP+EF)·OE=18.
(2) OE=t，AP=3t，∴OP=20-3t，EF=BE=20-t.
∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t²+20t=-2(t-5)²+50.
∴当t="5" (在0<t<范围内)时，S_最大值="50."

D

(3) 作FD⊥x轴于D，则四边形OEFD为矩形.

∴FD=OE=t，AF=FD=t. 又AP=3t.
当t=t₁时，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；当t=t₂时，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；
∴，又∠A=∠A，∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.
点评：难题较高。本题考查学生对梯形面积公式的计算，相似三角形判定及动点和动直线作用下图形变化的理解，找出相对应的变量，结合上下题之间能使用的关系式进行计算。要能够在众多条件中准确找出对应所需的信息。