Question

△ABC内接于⊙O中，AD平分∠BAC交⊙O于D．

（1）如图1，连接BD，CD，求证：BD=CD；
（2）如图2，若BC是⊙O直径，AB=8，AC=6，求BD长；
（3）如图3，若∠ABC的平分线与AD交于点E，求证：BD=DE．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由AD平分∠BAC交⊙O于D，可得

BD

=

CD

，即可证得BD=CD；
（2）由BC是⊙O直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=∠BDC=90°，然后由勾股定理求得答案；
（3）由∠ABC的平分线与AD交于点E，利用三角形外角的性质与圆周角定理可求得∠BED=∠DBE，继而可证得BD=DE．

解答：（1）证明：∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD；

（2）解：∵BC是⊙O直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AB=8，AC=6，
∴BC=

AB2+AC2

=10，
∵BD=CD，
∴BD=5

2

；

（3）证明：∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∠ABC的平分线与AD交于点E，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠BED=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠CBD，
∵∠CBD=∠2，
∴∠BED=∠DBE，
∴BD=DE．

点评：此题考查了圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．