Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣ ；④4ac﹣b2＞8a；
其中正确的结论是（ ）

A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a＜0，
∵x=﹣ =1，
∴2a+b=0．
∴3a+b=0+a=a＜0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则y=ax2﹣2ax﹣3a，
令x=0得：y=﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤﹣3a≤3．
解得：﹣1≤a≤﹣ ，故③正确；
④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤c≤3，
由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2 ，
∵a＜0，
∴c﹣2＜
∴c﹣2＜0
∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．
故选：B．
①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从而可知当x＞3时，y＜0；
②由抛物线开口向下可知a＜0，然后根据x=﹣ =1，可知：2a+b=0，从而可知3a+b=0+a=a＜0；
③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0得：y=﹣3a．由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知2≤﹣3a≤3．④由4ac﹣b2＞8a得c﹣2＜0与题意不符．