Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，

∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，

∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根

（2）解：根据题意，得

12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，

解得，m=2，

则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为： ；

该直角三角形的周长为1+3+ =4+ ；

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 ；则该直角三角形的周长为1+3+2 =4+2

【解析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，由勾股定理得斜边的长度为： ；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为 ；再根据三角形的周长公式进行计算．
【考点精析】关于本题考查的求根公式和勾股定理的概念，需要了解根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．