题目内容

(本题满分12分)

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线轴于两点,交轴于点.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)若此抛物线的对称轴与直线交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;

(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

 

 

(1)

(2)劣弧EF的长为:

(3)点P坐标为时,△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分

解析:(本小题满分12分)

解:(1)∵抛物线经过点

, 解得.

∴抛物线的解析式为:.          …………………………3分

(2)易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8,∴点D的坐标为(4,8).

∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8.                   …………………………4分

连结DE、DF,作DM⊥y轴,垂足为点M.

在Rt△MFD中,FD=8,MD=4.∴cos∠MDF=

∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°.                       …………………………6分

∴劣弧EF的长为:.                   …………………………7分

(3)设直线AC的解析式为y=kx+b.  ∵直线AC经过点.

,解得.∴直线AC的解析式为:.  ………8分

设点,PG交直线AC于N,

则点N坐标为.∵.

∴①若PN︰GN=1︰2,则PG︰GN=3︰2,PG=GN.

=.

解得:m1=-3, m2=2(舍去).

当m=-3时,=.

∴此时点P的坐标为.                        …………………………10分

②若PN︰GN=2︰1,则PG︰GN=3︰1, PG=3GN.

=.

解得:,(舍去).当时,=.

∴此时点P的坐标为.

综上所述,当点P坐标为时,△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分.                                              …………………12分

 

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