如图.在△ABC中.∠ACB=2∠B.射线AO平分∠BAC.交BC于点D.直线l⊥AO于H交直线AB于点N.交直线AC于点E．(1)当直线l过点C时.如图1.判断BN与CD的数量关系.并说明理由,(2)当直线l过点D时.如图2.线段BN.CE.CD之间的数量关系为 .并证明,(3)当点E在线段上AC上时.如图3.试判断线段BN.CE.CD之间的数量关系．(直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，射线AO平分∠BAC，交BC于点D，直线l⊥AO于H交直线AB于点N，交直线AC于点E．

（1）当直线l过点C时，如图1，判断BN与CD的数量关系，并说明理由；
（2）当直线l过点D时，如图2，线段BN、CE、CD之间的数量关系为

，并证明；
（3）当点E在线段上AC上时（点E与A、C不重合），如图3，试判断线段BN、CE、CD之间的数量关系．（直接写出结论，不用证明）

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）连接DN，利用“角边角”证明△AHN和△AHC全等，根据全等三角形对应边相等可得NH=CH，全等三角形对应角相等可得∠ANH=∠ACH，从而得到AD是NC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DN=CD，根据等边对等角可得∠DNC=∠DCN，然后求出∠AND=∠ACB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠B+∠BDN=∠AND，然后求出∠B=∠BDN，根据等角对等边可得BN=DN，从而得解；
（2）同（1）可求∠AND=∠AED，DN=DE，在AN上截取NF=CE，利用“边角边”证明△CDE和△FDN全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，FN=CE，全等三角形对应角相等可得∠DFN=∠DCE，然后求出∠AFD=∠ACB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠B+∠BDF=∠AFD，然后求出∠B=∠BDF，根据等角对等边可得BF=DF，从而得到BN+CE=CD；
（3）连接DN、DE，同（1）可求DN=DE，∠AND=∠AED，在BN上截取NF，使NF=CE，同（2）求出BF=DF，从而得到BN-CE=CD．

解答：解：（1）如图，连接DN，∵l⊥AO，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO=∠CAO，
在△AHN和△AHC中，

∠AHN=∠AHC=90°

AH=AH

∠BAO=∠CAO

，
∴△AHN≌△AHC（ASA），
∴NH=CH，∠ANH=∠ACH，
∴AD是NC的垂直平分线，
∴DN=CD，
∴∠DNC=∠DCN，
∵∠AND=∠ANH+∠DNC，
∠ACB=∠ACH+∠DCN，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠B+∠BDN=∠AND，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，

∴BN=DN，
∴BN=CD；

（2）BN+CE=CD．
理由如下：同（1）可求∠AND=∠AED，DN=DE，
在AN上截取NF=CE，
在△CDE和△FDN中，

DN=DE

∠AND=∠AED

NF=CE

，
∴△CDE≌△FDN（SAS），
∴DF=CD，FN=CE，∠DFN=∠DCE，
∵∠AFD+∠DFN=180°，∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠AFD=∠ACB，
∵∠B+∠BDF=∠AFD，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDF，
∴BF=DF=CD，
∵BN+NF=BF，
∴BN+CE=CD；

（3）如图，连接DN、DE，同（1）可求DN=DE，∠AND=∠AED，
在BN上截取NF，使NF=CE，同（2）可求BF=DF=CD，
∵BN-NF=BF，
∴BN-CE=CD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，此类题目通常后面小题的思路与第一小题的思路相同．