题目内容
如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD交AC于点D.
(1)求AD的长;
(2)求cosA的值(结果保留根号).
(1)求AD的长;
(2)求cosA的值(结果保留根号).
考点:相似三角形的判定与性质,黄金分割,锐角三角函数的定义
专题:
分析:(1)求出AD=BD=BC,证△ABC∽△BDC,推出
=
,求出BC2=AD2=AC×(AC-AD),求出AD=
AC,代入求出即可;
(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E.由等腰三角形“三合一”的性质得到:AE=
AB=
,则根据锐角三角函数的定义得到:cosA=
,将相关线段的长度代入求值即可.
BC |
CD |
AC |
BC |
| ||
2 |
(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E.由等腰三角形“三合一”的性质得到:AE=
1 |
2 |
1 |
2 |
AE |
AD |
解答:解:(1)∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠C=∠ABC=
(180°-∠A)=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A,
∴AD=BD,
∵∠C=72°,∠CBD=36°,
∴由三角形内角和定理得:∠BDC=72°=∠C,
∴BD=BC=AD,
∵∠C=∠C,∠CBD=∠A,
∴△ABC∽△BDC,
∴
=
,
∴BC2=AC×CD,
∵AD=BD=BC,
∴AD2=AC×CD=AC×(AC-AD),
解关于AD的方程得:AD=
AC=
,即AD=
;
(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E.
由(1)知,AD=BD,则AE=
AB=
,
∴cosA=
,即
=
,
∴cosA的值是
.
∴∠C=∠ABC=
1 |
2 |
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A,
∴AD=BD,
∵∠C=72°,∠CBD=36°,
∴由三角形内角和定理得:∠BDC=72°=∠C,
∴BD=BC=AD,
∵∠C=∠C,∠CBD=∠A,
∴△ABC∽△BDC,
∴
BC |
CD |
AC |
BC |
∴BC2=AC×CD,
∵AD=BD=BC,
∴AD2=AC×CD=AC×(AC-AD),
解关于AD的方程得:AD=
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E.
由(1)知,AD=BD,则AE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴cosA=
AE |
AD |
| ||||
|
| ||
4 |
∴cosA的值是
| ||
4 |
点评:本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形的判定,角平分线定义,相似三角形的性质和判定,黄金分割等知识点的综合运用.
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