题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），点C（0，6），BC∥OA，OB=10，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动，现点E、F同时出发，连接EF并延长交OA于点D，当F点到达B点时，E、F两点同时停止运动．设运动时间为t秒（1）当四边形ABED是平行四边形时，求t的值；
（2）当△BEF的面积最大时，求t的值；
（3）当以BE为直径的圆经过点F时，求t的值；
（4）当动点E、F会同时在某个反比例函数的图象上时，求t的值．（直接写出答案）
分析：（1）因为BC∥OA，所以可判定△EBF∽△DOF，得到关于OD和运动时间t的关系式，当四边形ABED是平行四边形时EB=AD，进而求出时间t；
（2）用含有t的代数式表示出△BEF的面积，利用二次函数的性质可求出当△BEF的面积最大时，t的值；
（3）利用相似三角形对应边成比例求解即可；
（4）假设会在同一反比例函数图象上，表示出点E、F的坐标则两点的横坐标与纵坐标的积等于定值，即相等，列出方程，如果方程有解，说明会在同一函数图象上，求出方程的解就是运动的时间，如果方程无解说明不会在同一函数图象上．
（2）用含有t的代数式表示出△BEF的面积，利用二次函数的性质可求出当△BEF的面积最大时，t的值；
（3）利用相似三角形对应边成比例求解即可；
（4）假设会在同一反比例函数图象上，表示出点E、F的坐标则两点的横坐标与纵坐标的积等于定值，即相等，列出方程，如果方程有解，说明会在同一函数图象上，求出方程的解就是运动的时间，如果方程无解说明不会在同一函数图象上．
解答：
解：（1）∵BC∥OA，
∴△EBF∽△DOF，
∴
=
，
即：
=
，得到：OD=
，
∴当四边形ABED是平行四边形时，EB=AD，
即10-
=t，
∴t=
；
（2）s=
t(10-2t)
=-
(t-2.5)2+
，
∴当t=2.5时，△EBF的面积最大；
（3）当以BE为直径的圆经过点F时，则∠EFB=90°，
∵△EFB∽△OCB，
∴
=
，
∴t=
；
（4）依题意有6（8-t）=（2t×
）×（2t×
），
解得t1=
，t2=
（负值舍去）．
解：（1）∵BC∥OA，∴△EBF∽△DOF，
∴
| EB |
| DO |
| BF |
| OF |
即：
| t |
| OD |
| 10-2t |
| 2t |
| t2 |
| 5-t |
∴当四边形ABED是平行四边形时，EB=AD，
即10-
| t2 |
| 5-t |
∴t=
| 10 |
| 3 |
（2）s=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 15 |
| 4 |
∴当t=2.5时，△EBF的面积最大；
（3）当以BE为直径的圆经过点F时，则∠EFB=90°，
∵△EFB∽△OCB，
∴
| t |
| 10-2t |
| 5 |
| 4 |
∴t=
| 25 |
| 7 |
（4）依题意有6（8-t）=（2t×
| 8 |
| 10 |
| 6 |
| 10 |
解得t1=
-25+5
| ||
| 16 |
-25-5
| ||
| 16 |
点评：本题主要考查勾相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质和一元二次方程的解的情况，在平时的学习中需要多加练习熟练掌握．
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