Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=8

2

cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒

2

cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y=

1

4

x²+bx+c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

Answer 1

分析：（1）根据P、Q的运动速度，可用t表示出CQ、OP的长，进而根据OC的长求出OQ的表达式，即可由三角形的面积公式得到S、t的函数关系式；
（2）四边形OPBQ的面积，可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面积差求得，进而可得到所求的定值；
（3）若△OPQ与△PAB和△QPB相似，那么△QPB必为直角三角形，且∠QPB=90°；由于∠BQP≠∠OPQ，所以这三个相似三角形的对应关系是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，根据相似三角形得到的比例线段求出t的值，进而可确定点P的坐标，求出抛物线和直线BP的解析式；可设M点的横坐标为m，根据直线BP和抛物线的解析式，求出M、N的纵坐标，进而可得到关于MN的长与m的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值及对应的M点坐标；设BQ与直线MN的交点为H，根据M点的坐标和直线BQ的解析式即可求出H点的坐标，也就能得到MH的长，以MH为底，B、M横坐标差的绝对值为高，可求出△BHM的面积，进而可根据四边形OPBQ的面积求出五边形OPMHQ的面积，由此可求出它们的比例关系式．

解答：（1）解：∵CQ=t，OP=

2

t，CO=8，
∴OQ=8-t．
∴S_△OPQ=

1

2

(8-t)•

2

t=-

2

2

t2+4

2

t（0＜t＜8）；（3分）

（2）证明：∵S_{四边形OPBQ}=S_矩形ABCO-S_△CBQ-S_△PAB
=8×8

2

-

1

2

×8

2

t-

1

2

×8×(8

2

-

2

t)=32

2

；（5分）
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32

2

；（6分）

（3）解：当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB=90°，
又∵BQ与AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ，
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP（7分），
∴

OQ

AP

=

OP

AB

，
∴

8-t

8 2 - 2 t

=

2 t

8

，
解得：t₁=4，t₂=8
经检验：t=4是方程的解且符合题意，t=8不是方程的解，舍去；（从边长关系和速度考虑），
∴QO=4，
∴直线QB的解析式为：y=

2

4

x+4，
此时P（4

2

，0）；
∵B（8

2

，8）且抛物线y=

1

4

x2+bx+c经过B、P两点，
∴抛物线是y=

1

4

x2-2

2

x+8，直线BP是：y=

2

x-8（8分）．
设M（m，

2

m-8）、N（m，

1

4

m2-2

2

m+8）．
∵M在BP上运动，
∴4

2

≤m≤8

2

∵y1=

1

4

x2-2

2

x+8与y2=

2

x-8交于P、B两点且抛物线的顶点是P；
∴当4

2

≤m≤8

2

时，y₁＜y₂（9分）
∴MN=|y₁-y₂|
=|

1

4

m²-2

2

m+8-（

2

m-8）|
=

2

m-8-（

1

4

m²-2

2

m+8）
=

2

m-8-

1

4

m²+2

2

m-8
=-

1

4

m²+3

2

m-16
=-

1

4

(m-6

2

)2+2，
∴当m=6

2

时，MN有最大值是2；
∴设MN与BQ交于H点则M(6

2

，4)，H(6

2

，7)；
∴S_△BHM=

1

2

×3×2

2

=3

2

∴S_△BHM：S_{五边形QOPMH}=3

2

：(32

2

-3

2

)=3：29
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．（10分）

点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到矩形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数的应用等重要知识点，综合性强，难度较大．