题目内容
【题目】在菱形
中，
，点
是射线
上一动点，以
为边向右侧作等边
，点
的位置随着点的位置变化而变化.
（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接
，
与的数量关系是______，与
的位置关系是______；
（2）当点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；
（3）如图4，当点在线段的延长线上时，连接
，若
，
，求四边形
的面积.
【答案】（1）
，
；（2）结论仍然成立，理由：略；（3）
【解析】
（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质得出△BAP≌△CAE，再延长
交
于
， 根据全等三角形的性质即可得出；
（2）结论仍然成立．证明方法同（1）；
（3）根据（2）可知△BAP≌△CAE，根据勾股定理分别求出AP和EC的长，
即可解决问题；
（1）如图1中，结论：
，.
理由：连接
.
∵四边形
是菱形，
，
∴
，
都是等边三角形，
，
∴
，
，
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴，
，
延长交于，
∵
，
∴
，
∴
，即.
故答案为，.
（2）结论仍然成立.
理由：选图2，连接交
于
，设交于.
∵四边形是菱形，，
∴，都是等边三角形，，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴.
，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，即.
选图3，连接交于，设交于.
∵四边形ABCD是菱形，，
∴，都是等边三角形，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴.
，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，即.
（3），
由（2）可知
，
，
在菱形中，
，
∴
，
∵
，
，
在
中，
，
∴
，
∵与是菱形的对角线，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
.
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