Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A、B两点，与x轴相交于点C，连接AO，过点A作AD⊥x轴于点D，且OA=OC=5，cos∠AOD=

3

5

．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上（异于点O），且S_△BCO=S_△BCE，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用余弦函数求出OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，得到A点坐标，将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出比例系数，从而得到反比例函数解析式；
（2）根据S_△BCO=S_△BCE，得到

1

2

×OC×BH=

1

2

×CE×BH，再求出OE的长，判断出E点坐标的位置．

解答：解：（1）∵AD⊥x轴，
∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，
∵cos∠AOD=

DO

AO

=

DO

5

=

3

5

∴DO=3．
∴AD=

AO2-DO2

=4．
∵点A在第一象限内，
∴点A的坐标是（3，4）． 
将点A（3，4）代入y=

m

x

（m≠0），

m

3

=4，m=12．
∴该反比例函数的解析式为y=

12

x

．
∵OC=5，且点C在x轴负半轴上，
∴点C的坐标是（-5，0），
将点A（3，4）和点C（-5，0）代入y=kx+b（k≠0）得，

3k+b=4 -5k+b=0

，
解得，

k= 1 2 b= 5 2

，
∴该一次函数的解析式为y=

1

2

x+

5

2

．
（2）过点B作BH⊥x轴于点H．
∵S_△BCO=S_△BCE，
∴

1

2

×OC×BH=

1

2

×CE×BH，
∴OC=CE=5．
∴OE=OC+CE=5+5=10．
又∵点E在x轴负半轴上，
∴点E的坐标是（-10，0）．

点评：本题考查了反比例函数综合题，熟悉待定系数法是解题的关键，同时要应用图象进行解答．