Question

在直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx+c的开口向上，顶点P在直线y=-4x上，且P到坐标原点距离为，又知抛物线与x轴两交点A、B（A在B的左侧）的横坐标的平方和为10．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若Q是抛物线上异于A、B、P的点，且∠QAP=90°，求点Q的坐标．（利用“点坐标的绝对值等于线段长”沟通函数与几何，转化为点坐标用函数知识，转化为线段长用几何知识）

Answer 1

解：

（1）∵顶点P在直线y=-4x上，
可设P（a₁，-4a），则有，
解得：a=±1，
∴P（1，-4）或（-1，4）．
∵抛物线开口向上，又与x轴有交点，
∴（-1，4）不合题意舍去．
设y=a（x-1）²-4=ax²-2ax+a-4与x轴交于点A（x₁，0）、
B（{x₂，0），
，
消x₁、x₂，
解得a=1；

（2）如图所示，设抛物线上点Q（m，n），过Q作QM⊥x轴于点M．
，，
，
∵∠QAP=90°，由勾股定理，得=（m-1）²+（n+4）²，
整理，得m-2n+1=0，又n=m²-2m-3．
解得（不合题意舍去）或．
∴Q（）．

分析：（1）由顶点P在直线y=-4x上，且P到坐标原点距离为，可得出点P的坐标，再利用勾股定理可以解决，
（2）假设出点Q的坐标，表示出AQ，QP的长度，利用勾股定理可以解决．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，以及勾股定理的应用，计算量较大，应认真计算．