题目内容
已知二次函数y=4x2+bx+
（b2+b），b取任何实数时，它的图象都是一条抛物线．（1）现在有如下两种说法：
①b取任何不同的数值时，所对应的抛物线都有着完全相同的形状；
②b取任何不同的数值时，所对应的抛物线都有着不相同的形状．
你认为哪一种说法正确，为什么？
（2）若b=-1，b=2时对应的抛物线的顶点分别为A，B，请你求出直线AB的解析式；
（3）在（2）中所确定的直线AB上有一点C，且点C的纵坐标为-1，问：在x轴上是否存在点D使△COD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，简单说明理由．
【答案】分析：（1）由于抛物线的形状只与抛物线的二次项系数有关，显然①的说法是正确的．
（2）将b=-1、b=2分别代入抛物线的解析式中，用配方法求出两条抛物线的顶点坐标，也就得到了A、B点的坐标，从而利用待定系数法求出直线AB的解析式．
（3）根据（2）题得到的直线AB的解析式，可确定点C的坐标；由于△COD的腰和底不确定，分：①OC=OD、②OC=CD、③OD=CD三种情况讨论即可．
解答：解：（1）抛物线的开口方向和形状只与二次项系数有关，与一次项系数和常数项无关，
故①的说明是正确的．
（2）当b=-1时，y=4x2-x=4（x-
）2-
，
故A（
，-
）；
当b=2时，y=4x2+2x+
=4（x+
）2+
，
故B（-
，
）；
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得
，
故直线AB的解析式为：y=-
x．
（3）当y=-1时，-1=-
x，x=2，
故C（2，-1）；
可得OC=
；
若△COD是等腰三角形，则有：
①OC=OD，则OD=
；
∴D1（-
，0），D2（
，0）；
②OC=CD；
根据等腰三角形三线合一的性质知：C点位于OD的垂直平分线上，
故D3（4，0）；
③OD=CD；
此时D位于OC的垂直平分线上，则∠OCD4=∠OD3C=∠COD4，
则△OD4C∽△OCD3，得OC2=OD4•OD3，
由于OC=
，OD3=4，
可求得OD4=
，
故D4（
，0）；
综上所述，存在4个符合条件的D点，它们的坐标为：D1（-
，0），D2（
，0），D3（4，0），D4（
，0）．
点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系、函数解析式的确定、等腰三角形的构成情况等知识点；（3）题中，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定要分类讨论，以免漏解．
（2）将b=-1、b=2分别代入抛物线的解析式中，用配方法求出两条抛物线的顶点坐标，也就得到了A、B点的坐标，从而利用待定系数法求出直线AB的解析式．
（3）根据（2）题得到的直线AB的解析式，可确定点C的坐标；由于△COD的腰和底不确定，分：①OC=OD、②OC=CD、③OD=CD三种情况讨论即可．
解答：解：（1）抛物线的开口方向和形状只与二次项系数有关，与一次项系数和常数项无关，
故①的说明是正确的．
（2）当b=-1时，y=4x2-x=4（x-
）2-，故A（
，-）；当b=2时，y=4x2+2x+
=4（x+）2+，故B（-
，）；设直线AB的解析式为：y=kx+b，则有：
，解得
，故直线AB的解析式为：y=-
x．（3）当y=-1时，-1=-
x，x=2，故C（2，-1）；
可得OC=
；若△COD是等腰三角形，则有：
①OC=OD，则OD=
；∴D1（-
，0），D2（，0）；②OC=CD；
根据等腰三角形三线合一的性质知：C点位于OD的垂直平分线上，
故D3（4，0）；
③OD=CD；
此时D位于OC的垂直平分线上，则∠OCD4=∠OD3C=∠COD4，
则△OD4C∽△OCD3，得OC2=OD4•OD3，
由于OC=
，OD3=4，可求得OD4=
，故D4（
，0）；综上所述，存在4个符合条件的D点，它们的坐标为：D1（-
，0），D2（，0），D3（4，0），D4（，0）．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系、函数解析式的确定、等腰三角形的构成情况等知识点；（3）题中，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定要分类讨论，以免漏解．
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