Question

【题目】如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的表达式为：y=﹣ x2+ x

（2）

解：存在．

设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，

求得k= ，

∴直线OD解析式为y= x．

设点M的横坐标为x，则M（x， x），N（x，﹣ x2+ x），

∴MN=|yM﹣yN|=| x﹣（﹣ x2+ x）|=| x2﹣4x|．

由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．

∴| x2﹣4x|=3．

若 x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，

解得：x= 或x= ；

若 x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，

解得：x= ．

∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为： 或 或

（3）

解：∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y= x．

如解答图所示，

设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．

设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；

设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．

设水平方向的平移距离为t（0≤t＜3），

则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t， + t），C′（1+t，3﹣t）．

设直线O′C′的解析式为y=3x+b，

将C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，

∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．

∴E（ t，0）．

联立y=3x﹣4t与y= x，解得x= t，

∴P（ t， t）．

过点P作PG⊥x轴于点G，则PG= t．

∴S=S△OFQ﹣S△OEP= OFFQ﹣ OEPG

= （1+t）（ + t）﹣ t t

=﹣ （t﹣1）2+

当t=1时，S有最大值为 ．

∴S的最大值为 ．

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=| x2﹣4x|；解方程| x2﹣4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜3），利用平移性质求出S的表达式：S=﹣ （t﹣1）2+ ；当t=1时，s有最大值为 ．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．