题目内容
【题目】如图,AB为⊙O的直径,直线CD切⊙O于点M,BE⊥CD于点E.
(1)求证:∠BME=∠MAB;
(2)求证:BM2=BEAB;
(3)若BE= ,sin∠BAM= ,求线段AM的长.
【答案】
(1)解:如图,连接OM,
∵直线CD切⊙O于点M,
∴∠OMD=90°,
∴∠BME+∠OMB=90°,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AMB=90°.
∴∠AMO+∠OMB=90°,
∴∠BME=∠AMO,
∵OA=OM,
∴∠MAB=∠AMO,
∴∠BME=∠MAB
(2)解:由(1)有,∠BME=∠MAB,
∵BE⊥CD,
∴∠BEM=∠AMB=90°,
∴△BME∽△BAM,
∴ ,
∴BM2=BEAB
(3)解:由(1)有,∠BME=∠MAB,
∵sin∠BAM= ,
∴sin∠BME= ,
在Rt△BEM中,BE= ,
∴sin∠BME= = ,
∴BM=6,
在Rt△ABM中,sin∠BAM= ,
∴sin∠BAM= = ,
∴AB= BM=10,
根据勾股定理得,AM=8
【解析】(1)由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°,再由直径得出∠AMB=90°,利用同角的余角相等判断出结论;(2)由(1)得出的结论和直角,判断出△BME∽△BAM,即可得出结论,(3)先在Rt△BEM中,用三角函数求出BM,再在Rt△ABM中,用三角函数和勾股定理计算即可.此题是圆的综合题,主要考查了切线的性质,直径所对的圆周角是直径,相似三角形的性质和判定,三角函数,解本题的关键是判断出,△BME∽△BAM.
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