Question

【题目】如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交与点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．

求证：（1）AD=BE

（2）△APC≌△BQC

（3）△PCQ是等边三角形．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

(1) 根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE；

(2) 根据ADC≌△BEC来证明；

(3)证明△CDP≌△CEQ，根据全等三角形对应角相等可得PC=CQ，从而得到△CPQ是等边三角形.

证明：（1）∵△ABC和△CDE是正三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ADC≌△BEC（SAS），

∴AD=BE；

（2）∵ADC≌△BEC，

∴∠ACP=∠BCQ，AC=BC，∠CAP=∠CBQ，

∴△APC≌△BQC（ASA）；

（3）∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，

∴△CDP≌△CEQ（ASA）．

∴CP=CQ，

∴∠CPQ=∠CQP=60°，

∴△CPQ是等边三角形．