Question

已知：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AF平分∠CAB交CE于点F，AD=AC，DF的延长线交AC于点G，
求证：（1）CF=DF （2）GD∥BC．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线得到∠CAF=∠DAF，则可根据“SAS”判断△ACF≌△ADF，所以CF=DF；
（2）由△ACF≌△ADF得到∠ACF=∠ADF，再根据同角的余角相等得到∠ACE=∠B，则∠ADF=∠B，根据根据平行线的判定方法即可得到GD∥BC．

解答：证明：（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF，
在△ACF和△ADF中

AC=AD ∠CAE=∠DAF AF=AF

，
∴△ACF≌△ADF （SAS），
∴CF=DF；

（2）∵△ACF≌△ADF，
∴∠ACF=∠ADF，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
∴∠ADF=∠B，
∴GD∥BC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了平行线的判定．