Question

【题目】等腰直角△ABC，△MAD中，∠BAC=∠DMA=90°，连接BM，CD．且B，M，D三点共线

（1）当点D，点M在BC边下方，CD＜BD时，如图①，求证：BM+CD=AM；（提示：延长DB到点N，使MN=MD，连接AN．）

（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，如图②；当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，如图③，请直接写出线段BM，CD，AM之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1），（2）条件下，点E是AB中点，MF是△AMD的角平分线，连接EF，若EF=2MF=6，则CD=　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，BM=CD+AM（3）12-6

【解析】

（1）延长DB到点N，使MN=MD，由题意可证△AND是等腰直角三角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可证△ABN≌△ACD，可得BN=CD，则结论可得．
（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，：在线段BM上截取MN=DM，由题意可证△AND是等腰直角三角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可证△ABN≌△ACD，可得BN=CD，即可得BM=CD+AM，当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，延长DM到N，使MN=DM．由题意可证△AND是等腰直角三角形，可得∠NAD=∠BAC=90°，AN=AD，即可证△ABN≌△ACD，可得BN=CD，即可得CD=BM+AM
（3）由题意可得EF是中位线，分类讨论，代入关系式可求CD的长度．

（1）延长DB到点N，使MN=MD，连接AN,

∵等腰直角△ABC，△MAD,

∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,

∵MN=MD，∠DMA=90°，AM=AM,

∴△AMN≌△AMD,

∴AD=AN，∠NAM=∠MAD=45°,

∴∠NAD=90°,

∵∠NAD=∠BAC=90°,

∴∠NAB=∠CAD，且AN=AD，AB=AC,

∴△ABN≌△ACD,

∴BN=CD,

∵MN=BM+BN,

∴AM=MD=BM+CD,

（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，BM=CD+AM,

如图：在线段BM上截取MN=DM,

∵等腰直角△ABC，△MAD,

∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,

∵MN=DM,

∴AM=DM=MN，且∠AMD=90°,

∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°,

∴AN=AD，∠NAD=90°,

∵∠NAD=∠BAC=90°,

∴∠BAN=∠DAC，且AN=AD，AB=AC,

∴△ABN≌△ACD,

∴BN=CD,

∵BM=BN+MN,

∴BM=CD+AM,

当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，CD=BM+AM,

如图：延长DM到N，使MN=DM．

∵等腰直角△ABC，△MAD,

∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD,

∵MN=DM,

∴AM=DM=MN，且∠AMD=90°,

∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°,

∴AN=AD，∠NAD=90°,

∵∠NAD=∠BAC=90°,

∴∠BAN=∠DAC，且AN=AD，AB=AC,

∴△ABN≌△ACD,

∴BN=CD,

∵BN=BM+MN,

∴CD=BM+AM,

（3）∵MF是△AMD的角平分线，∠DMA=90°，AM=DM,

∴AF=DF=MF且点E是AB中点,

∴BD=2EF=12，

∵EF=2MF=6,

∴MF=3,

∴AF=DF=MF=3,

∴AM=DM=3,

当点D，点M在BC边下方，CD＜BD时，AM=BM+CD,

∴CD=3﹣（12﹣3）=6﹣12＜0,

故不存在这样的点D,

当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，BM=CD+AM,

∴CD=BM﹣AM=12﹣6,

当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，CD=BM+AM,

∵AB＜DM,

∴不存在这样的点D,

综上所述，CD=12﹣6,

故答案为12﹣6.