Question

如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3；
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC；

（2）解：∵BC与圆相切于点D．
∴BD²=BE•BA，
∵BE=2，BD=4，
∴BA=8，
∴AE=AB-BE=6，
∴⊙O的半径为3．
分析：（1）先连接OD，再由OD⊥BC和AC⊥BC可知OD∥AC从而得证；
（2）利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径则可求出．
点评：本题考查了圆的切线性质和切割线定理，遇到圆的切线的问题，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．