Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：利用矩形相似，可得到比例线段，先设其中一段，MN=x，再利用面积公式可得到S关于x的二次函数，利用二次函数可求最大值．
解答：解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD，
∴．（1分）
∵AB=2AD，MN=x，
∴MF=2x．（2分）
∴EM=EF-MF=10-2x（0＜x＜5）．
∴S=x（10-2x）（5分）
=-2x²+10x
=-2（x-）²+．
∴当x=时，S有最大值为．（8分）
点评：利用矩形相似选择二次函数模型，考查学生在新情境中的知识迁移能力．
同一直线[一分段]上所作的所有平行四边形，其[在整个直线段上平行四边形所余部分形成的]亏形与半线段上一平行四边形相似者，以该半线段上所作且相似于亏形的那个平行四边形（的面积）为最大．
本题实际上是一元二次方程的几何解释，由于考虑到难度的设计，最后将平行四边形相似改成了矩形，将原来要分类讨论的问题改成了只有一种情况．