题目内容
【题目】已知在平面直角坐标系中,二次函数
(
,
为常数)的图像顶点的纵坐标为
.
(1)直接写出、
满足的关系式是______;
(2)若点,
(
)是二次函数
(
,
为常数)的图像上的两点.
①当,
时,求
的长度;
②当时,求
的长度;
③若存在实数,使得
,且
成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)①
;②
;③
.
【解析】
(1)由顶点坐标公式可以求出a,b之间的关系;
(2)①当a=-3时,求出二次函数的解析式及m的值,然后求出P,Q的坐标,从而可求出PQ的长;
②首先求出二次函数的解析式,令y=0,求出x的值,从而可求出PQ的值;
③首先求出二次函数的解析式,令y=m,求出x的值,从而可求出PQ的值,再结合得
,
,则PQ
15-2c-(3-2c),从而求出m的取值范围.;
解:(1)∵二次函数(
,
为常数)的图像顶点的纵坐标为
,
∴.
∴.
(2)①∵,
,
∴b=5.
又m=b,
∴二次函数的解析式为,
,
.
当y=5时,,解得x1=0,x2=6.
∴PQ=6.
②∵,∴b=a2-4.
∴二次函数的解析式为.
当y=0时,∴.
∴[x-(a-2)][x-(a+2)]=0.
∴x=a-2或a+2.
∴PQ==4.
③∵,∴b=a2-4.
∴二次函数的解析式为.
当y=m时,.
∴(x-a)2=4+m.
∴x1=a-,x2=a+
.
∴PQ=2.
∵,
,
215-2c-(3-2c).
解得.

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