题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx﹣3(m≠0)与y轴交于点A,与x轴交于点B、C(B在C的左侧)
(1)求点A的坐标和对称轴
(2)若∠ACB=45°,求此抛物线的表达式;
(3)在(2)的条件下,对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出P点坐标和△PAB的周长,若不存在,请说明理由。
【答案】(1)A(0,-3)对称轴x=1;(2)y=x2-2x-3;(3)P(1,-2),+
【解析】
(1)令x=0可求出点A坐标,根据对称轴公式即可求出对称轴;
(2)根据∠ACB=45°可得,△AOC为等腰直角三角形,所以OA=OC,再根据A点坐标即可求出C点坐标,最后将C点坐标代入表达式求出m即可解答;
(3)根据B、C关于对称轴对称,所以连接AC,与对称轴的交点即为P,根据A、C点坐标求出AC的表达式,据此可求出点P坐标,再根据A、B、C的坐标求周长即可.
解:(1)令x=0可得,y=-3,
∴A(0,-3),对称轴,
故:A(0,-3),对称轴x=1;
(2)∵∠ACB=45°,
∴△AOC为等腰直角三角形,
∴OA=OC,
由(1)知,A(0,-3),则OA=3,
∴C(3,0)
将点C 代入表达式得m=1,则y=x2-2x-3;
(3)如图,点B与点C关于对称轴对称,
∴连接AC交对称轴于点P, 此时PA+PB最小,最小值为AC,
∴AC+AB即为周长最小值,
根据A(0,-3),C(3,0),求得AC表达式为:y=x-3,AC=
将x=1代入y=x-3得,y=-2,则P(1,-2),
∵C(3,0),且B、C关于对称轴x=1对称,
∴B(-1,0)
∴AB=,
∴周长为:.

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