Question

【题目】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．

（1）几秒后P，Q两点相距25cm？
（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？
（3）设△CPQ的面积为S1 ， △ABC的面积为S2 ， 在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设x秒后P、Q两点相距25cm，

则CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由题意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，

解得，x1=10，x2=0（舍去），

则10秒后P、Q两点相距25cm

（2）

解：设y秒后△PCQ与△ABC相似，

当△PCQ∽△ACB时， = ，即 = ，

解得，y= ，

当△PCQ∽△BCA时， = ，即 = ，

解得，y= ，

故 秒或 秒后△PCQ与△ABC相似

（3）

解：△CPQ的面积为S1= ×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面积为S2= ×AC×BC=375，

由题意得，5（﹣t2+25t）=375×2，

解得，t1=10，t2=15，

故运动10秒或15秒时，S1：S2=2：5

【解析】（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可；（3）用t分别表示出CP、CQ，根据题意列出方程，解方程即可．