题目内容
【题目】已知如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点(OA＜OB)，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-18x+72=0的两根，点D为线段OB的中点，过点D作AB的垂线与线段AB相交于点C．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求过点C的反比例函数解析式；
(3)已知点P在直线AD上，在平面内是否存在点Q，使以A、O、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) A(6，0)，B(0，12)； (2) y=
； (3) 点Q坐标为(3，-3)或(
，
)或(，)或(6，6)．
【解析】
（1）直接求出一元二次方程的解，即可解决问题．
（2）先求出直线AB、CD的解析式．利用方程组求出点C坐标，即可解决问题．
（3）分四种情形①当OA是菱形AP1OQ1的对角线时，②当OA为菱形AP2Q2O的边时，③当OA为菱形AP3Q3O的边时，④当OA为菱形A Q4P4O的边时，此时点P4与点D重合，菱形A Q4P4O变为正方形，分别求解即可．
（1）由x2-18x+72=0，解得：x=6或12，
∴OA=6，OB=12，
∴A(6，0)，B(0，12)；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A(6，0)，B(0，12)代入得：
，解得
，
∴直线AB的解析式为：y=-2x+12，
延长CD，交x轴与点E，
∵DC⊥AB，D(0，6)，
∴∠AEC+∠OAB=∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠AEC=∠OBA，
∵∠DOE=∠AOB，OD=OA=6，
∴DOEAOB（AAS），
∴OE=OB=12，
∴E(-12，0)，
设直线DC的解析式为：y=kx+b，
把D(0，6)，E(-12，0)代入y=kx+b，得：
，解得：
，
∴直线DC的解析式为：y=
x+6，
由
，解得
，
∴交点C坐标(
，
)，
∴过点C的反比例函数的解析式为：y=
；
（3）①当OA是菱形AP1OQ1的对角线时，易知P1(3，3)，
∵P1与Q1关于x轴对称，
∴Q1(3，-3)；
②当OA为菱形AP2Q2O的边时，
∵OA=AP2=P2Q2=6，∠OAD=45°，
∴P2(6-3
，3)，Q2(-3，3)；
③当OA为菱形AP3Q3O的边时，同理可得Q3(3，-3)；
④当OA为菱形A Q4P4O的边时，此时点P4与点D重合，菱形A Q4P4O变为正方形，Q4(6，6)，
综上所述，满足条件的点Q坐标为(3，-3)或(，)或(，)或(6，6)．
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