Question

如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．

（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；

（2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；

（3）求证：GF²﹣GB²=DF•GF．

 

Answer 1

【答案】

（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，从而推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可。

（2）

（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG²，然后代入等式左边整理即可得证。

【解析】

分析：（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，从而推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可。

（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=CD=a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r。

（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG²，然后代入等式左边整理即可得证。

解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。

∵OA⊥CD，∴∠OAB+∠AGC=90°。

又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，

∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°。∴OB⊥FB。

∵AB是⊙O的弦，∴点B在⊙O上。∴BF是⊙O的切线。 

（2）∵AC∥BF，∴∠ACF=∠F。

∵CD=a，OA⊥CD，∴CE=CD=a。

∵tan∠F=，∴，即。

解得。

连接OC，设圆的半径为r，则，

在Rt△OCE中，，即，解得。

（3）证明：连接BD，

∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），∴∠DBG=∠F。

又∵∠F=∠F，∴△BDG∽△FBG。

∴，即GB²=DG•GF。

∴GF²﹣GB²=GF²﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF，即GF²﹣GB²=DF•GF。