题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,P是坐标系内任意一点,点P到⊙O的距离SP的定义如下:若点P与圆心O重合,则SP为⊙O的半径长;若点P与圆心O不重合,作射线OP交⊙O于点A,则SP为线段AP的长度.
图1为点P在⊙O外的情形示意图.
(1)若点B(1,0),C(1,1),D(0, ),则SB=;SC=;SD=;
(2)若直线y=x+b上存在点M,使得SM=2,求b的取值范围;
(3)已知点P,Q在x轴上,R为线段PQ上任意一点.若线段PQ上存在一点T,满足T在⊙O内且ST≥SR , 直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值.
【答案】
(1)0, -1,
(2)解:设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E,
作OG⊥EF于G,
∵∠FEO=45°,
∴OG=GE,
当OG=3时,GE=3,
由勾股定理得,OE=3 ,
此时直线的解析式为:y=x+3 ,
∴直线y=x+b上存在点M,使得SM=2,b的取值范围是﹣3 ≤b≤3
(3)解:∵T在⊙O内,
∴ST≤1,
∵ST≥SR,
∴SR≤1,
∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4.
【解析】(1)根据已知点的坐标和新定义,求解即可。
(2)根据直线y=x+b的特点,结合SM=2,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答。
(3)根据T在⊙O内,得出ST的范围,根据给出的条件ST≥SR、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值。
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