Question

抛物线y=（x-1）²的顶点A在直线l：y=x-1上运动，在某一时刻，所得新抛物线的顶点为B，记B点的横坐标为m．
（1）当m=-1时，直接写出抛物线的解析式；
（2）若新抛物线交x轴于M、N两点，S_△MBN≤2

2

，求m的取值范围；
（3）当△MBN是等腰直角三角形时，直接写出m的值；
（4）当△MBN是等边三角形时，求AB的长．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标性质得出B点坐标，进而得出二次函数解析式即可；
（2）首先表示出M，N的坐标，进而得出MN的值，再利用三角形面积得出m的取值范围；
（3）若△MBN为等腰直角三角形，作BC⊥MN于C，则BC=

1

2

MN，即1-m=

1-m

，求出m的值即可；
（4）若△MBN为等边三角形，作BC⊥MN于C，则BC=

3

CN=

3

2

MN，进而得出关于m的关系式求出m，即可得出B点坐标，进而得出AB的长．

解答：解：（1）∵点B在直线y=x-1上，B点的横坐标为m，当m=-1时，
∴y=-1-1=-2，
∴B点坐标为：（-1，-2），
根据二次函数平移a不变则a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）²-2；

（2）如图1，
抛物线的顶点B（m，m-1），则平移后的新抛物线是y=（x-m）²+m-1，
令y=0，则x=m±

1-m

（m＜1），
xM=m-

1-m

，xN=m+

1-m

，
MN=2

1-m

，
S_△MBN=

1

2

×MN×|y_B|
=

1

2

×2

1-m

×|m-1|
=（1-m）

1-m

≤2

2

，
∴m≥-1，
∴-1≤m＜1，
中间过程不必处处强求，
若用一元二次方程根与系数关系求得：
MN=|x1-x2|=

△

|a|

=2

1-m

，同样给分，若未注明m＜1或只得m≤1，给3分）；

（3）如图2，m=0，
若△MBN为等腰直角三角形，作BC⊥MN于C，则BC=

1

2

MN，
即1-m=

1-m

，
∵m＜1，
∴m=0，
说明：只有抛物线y=（x-1）²向左下平移时，才会与x轴有两个不同的交点，因此必有m＜1；

（4）如图2，若△MBN为等边三角形，作BC⊥MN于C，
∴∠CBN=30°，

CN

BC

=tan30°，
则BC=

3

CN=

3

2

MN，
即1-m=

3

2

×2

1-m

，
∴m=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y=x-1与坐标轴分别交于（0，-1），（1，0），
∴∠OAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三形，BC=AC=3，
故AB=3

2

．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及等边三角形的性质和勾股定理等知识，利用二次函数的平移以及二次根式的性质得出m的值是解题关键．