Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为 ．

Answer 1

【答案】2 +2
【解析】解：过B作BO⊥AC于O，延长BO至B′，使BO=B′O，连接B′D，交AC于E，连接BE、B′C，
∴AC为BB′的垂直平分线，
∴BE=B′E，B′C=BC=4，
此时△BDE的周长为最小，
∵∠B′BC=45°，
∴∠BB′C=45°，
∴∠BCB′=90°，
∵D为BC的中点，
∴BD=DC=2，
∴B′D= = =2 ，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=B′E+DE+BD=DB′+DB=2 +2，
故答案为：2 +2．

作B关于AC的对称点B′，连接B′D、B′C、BE，得B′C=BC=4，且△BB′C是等腰直角三角形，所以利用勾股定理得DB′的长，所以可以求得△BDE的周长的最小值为2 +2．