题目内容
【题目】如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止.设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2 . 已知y与t的函数关系图像如图(2)(其中曲线OG为抛物线的一部分,其余各部分均为线段).
(1)试根据图(2)求0<t≤5时,△BPQ的面积y关于t的函数解析式;
(2)求出线段BC、BE、ED的长度;
(3)当t为多少秒时,以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似;
(4)如图(3)过E作EF⊥BC于F,△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度,如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线,求此时C、I两点之间的距离.
【答案】
(1)
解:观察图像可知,AD=BC=5×2=10,BE=1×10=10,ED=4×1=4,AE=10﹣4=6
在Rt△ABE中,AB= = =8,
如图1中,作PM⊥BC于M.
∵△ABE∽△MPB,
∴ ,
∴ = ,
∴PM= t,
当0<t≤5时,△BPQ的面积y= BQPM= 2t t= t2
(2)
解:由(1)可知BC=BE=10,ED=4
(3)
解:①当P在BE上时,
∵BQ=2PB,
∴只有∠BPQ=90°,才有可能B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似,
∴∠BQP=30°,这个显然不可能,
∴当点P在BE上时,不存在△PQB与△ABE相似.
②当点P在ED上时,观察图像可知,不存在△.
③当点P在DC上时,设PC=a,
当 时,∴ = ,
∴a= ,
此时t=10+4+(8﹣ )=14.5,
∴t=14.5s时,△PQB与△ABE相似
(4)
解:如图3中,设EG=m,GH=n,
∵DE∥BC,
∴ ,
∴ = ,
∴m= ,
在Rt△BIG中,∵BG2=BI2+GI2,
∴( )2=62+(8+n)2,
∴n=﹣8+8 或﹣8﹣8 (舍弃),
∵∠BIH=∠BCG=90°,
∴B、I、C、G四点共圆,
∴∠BGH=∠BCI,
∵∠GBF=∠HBI,
∴∠GBH=∠CBI,
∴△GBH∽△CBI,
∴ ,
∴ = ,
∴IC= ﹣
【解析】(1)观察图像可知,AD=BC=5×2=10,BE=1×10=10,ED=4×1=4,AE=10﹣4=6在Rt△ABE中,AB= = =8,如图1中,作PM⊥BC于M.由△ABE∽△MPB,得 ,求出PM,根据△BPQ的面积y= BQPM计算即可问题.(2)观察图像(1)(2),即可解决问题.(3)分三种情形讨论①P在BE上,②P在DE上,③P在CD上,分别求解即可.(4)由∠BIH=∠BCG=90°,推出B、I、C、G四点共圆,推出∠BGH=∠BCI,由△GBH∽△CBI,可得 ,由此只要求出GH即可解决问题.
【考点精析】利用相似三角形的性质和相似三角形的判定对题目进行判断即可得到答案,需要熟知对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形;相似三角形的判定方法:两角对应相等,两三角形相似(ASA);直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似; 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS);三边对应成比例,两三角形相似(SSS).
【题目】我市某中学举行“中国梦校园好声音”歌手大赛,初、高中部根据初赛成绩,各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图4所示.
(1)根据图示填写下表:
平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) | |
初中部 | 85 | ||
高中部 | 85 | 100 |
(2)结合两队成绩的平均数和中位数,分析哪个队的决赛成绩较好;
(3)计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
【题目】某厂对一批袋装食盐抽样检查,共抽取了20袋,假设标准质量为120g,超出的部分记为“+”,不足的部分记为“-”,则这20袋食盐对应的数据如下表所示(单位:g):
与标准质量的差值 | -4 | -2 | -1 | 0 | +0.5 | +1.5 | +2.5 |
袋数 | 1 | 2 | 3 | 6 | 4 | 2 | 2 |
(1)若合格标准为“120g2g”,试求这一批食盐的合格率;
(2)试求这20袋食盐的总质量.