题目内容
(2013•沈阳)如图,OC平分∠MON,点A在射线OC上,以点A为圆心,半径为2的⊙A与OM相切与点B,连接BA并延长交⊙A于点D,交ON于点E.
(1)求证:ON是⊙A的切线;
(2)若∠MON=60°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
(1)求证:ON是⊙A的切线;
(2)若∠MON=60°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
分析:(1)首先过点A作AF⊥ON于点F,易证得AF=AB,即可得ON是⊙A的切线;
(2)由∠MON=60°,AB⊥OM,可求得AF的长,又由S阴影=S△AEF-S扇形ADF,即可求得答案.
(2)由∠MON=60°,AB⊥OM,可求得AF的长,又由S阴影=S△AEF-S扇形ADF,即可求得答案.
解答:(1)证明:过点A作AF⊥ON于点F,
∵⊙A与OM相切与点B,
∴AB⊥OM,
∵OC平分∠MON,
∴AF=AB=2,
∴ON是⊙A的切线;
(2)解:∵∠MON=60°,AB⊥OM,
∴∠OEB=30°,
∴AF⊥ON,
∴∠FAE=60°,
在Rt△AEF中,tan∠FAE=
,
∴EF=AF•tan60°=2
,
∴S阴影=S△AEF-S扇形ADF=
AF•EF-
×π×AF2=2
-
π.
∵⊙A与OM相切与点B,
∴AB⊥OM,
∵OC平分∠MON,
∴AF=AB=2,
∴ON是⊙A的切线;
(2)解:∵∠MON=60°,AB⊥OM,
∴∠OEB=30°,
∴AF⊥ON,
∴∠FAE=60°,
在Rt△AEF中,tan∠FAE=
FE |
AF |
∴EF=AF•tan60°=2
3 |
∴S阴影=S△AEF-S扇形ADF=
1 |
2 |
60 |
360 |
3 |
2 |
3 |
点评:此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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