Question

已知二次函数y=x²-x+c．
（1）若点A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函数y=x²-x+c的图象上，求此二次函数的最小值；
（2）若D（2，y₁）、E（x₂，2）两点关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE与抛物线y=x²-x+c+

3

8

的交点个数，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）代入函数式A，B两点坐标，求得c而根据函数的顶点式求得最小值；（2）先求得直线DE，把直线方程式代入到抛物线解析式，通过函数的判别式而求得．

解答：解：（1）由题意得

n=2+c 2n-1=2+c.

（1分）
解得

n=1 c=-1.

（2分）
有y=x²-x-1
y=（x-

1

2

）²-

5

4

．
∴二次函数y=x²-x-1的最小值是-

5

4

．（3分）

（2）解：∵点D、E关于原点成中心对称
∴D（2，-2）、E（-2，2），
设直线DE为y=kx+b则有

-2=2k+b 2=-2k+b

，
解得

k=-1 b=0

，
∴直线DE为y=-x．
则

y=-x y=x2-x+c+ 3 8 .

，（4分）
得x²+c+

3

8

=0．
即x²=-c-

3

8

．
①当-c-

3

8

=0时，
∴c=-

3

8

时，方程x²=-c-

3

8

有相同的实数根，
即当c=-

3

8

时直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+

3

8

有唯一交点（5分）
2当-c-

3

8

＞0时，
∴c＜-

3

8

时，方程x²=-c-

3

8

有两个不同实数根，
即当c＜-

3

8

时直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+

3

8

有两个不同的交点（6分）
3当-c-

3

8

＜0时，
∴c＞-

3

8

时，方程x²=-c-

3

8

没有实数根，
即当c＞-

3

8

时直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+

3

8

没有交点（7分）

点评：本题考查了二次函数的综合运用，考查了抛物线上两点来确定抛物线中c，代入两点而求得；也考查了直线与抛物线的结合，考查了之间是否有解，则通过二次函数的判别式来求．