Question

【题目】已知抛物线y=(x-m)2-(x-m)，其中m是常数．

（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．

（2）若该抛物线的对称轴为直线，求该抛物线的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）y=x2-5x+6

【解析】

（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△＝1＞0，于是根据△＝b24ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）根据对称轴方程得到，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；

解：（1）证明：y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m，

∵，

∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．

（2）∵y=x2-(2m+1)x+m2+m，

对称轴为直线，

∴，解得m=2，

∴抛物线的函数表达式为y=x2-5x+6．