题目内容
【题目】如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD丄PA,垂足为D.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.
【答案】
(1)证明:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠CAO,
∴∠DAC=∠OCA,
∴PB∥OC,
∵CD⊥PA,
∴CD⊥OC,CO为⊙O半径,
∴CD为⊙O的切线
(2)解:过O作OF⊥AB,垂足为F,
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,
∴四边形DCOF为矩形,
∴OC=FD,OF=CD.
∵DC+DA=6,
设AD=x,则OF=CD=6﹣x,
∵⊙O的直径为10,
∴DF=OC=5,
∴AF=5﹣x,
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.
即(5﹣x)2+(6﹣x)2=25,
化简得x2﹣11x+18=0,
解得x1=2,x2=9.
∵CD=6﹣x大于0,故x=9舍去,
∴x=2,
从而AD=2,AF=5﹣2=3,
∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,
∴AB=2AF=6.
【解析】(1)连接OC,根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°,再根据角平分线的性质,得∠DCO=90°,则CD为⊙O的切线;(2)过O作OF⊥AB,则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,得四边形OCDF为矩形,设AD=x,在Rt△AOF中,由勾股定理得(5﹣x)2+(6﹣x)2=25,从而求得x的值,由勾股定理得出AB的长.
【考点精析】利用勾股定理的概念和垂径定理对题目进行判断即可得到答案,需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.