Question

如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y=x²的图象于点C和D，直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H。记C、D的横坐标分别为x_C，x_D，点H的纵坐标y_H。

（1）证明：①S_△CMD∶S_梯形ABMC=2∶3；
②x_C·x_D=-y_H；
（2）若将上述A点坐标（1，0）改为A点坐标（t，0），t＞0，其他条件不变，结论S_△CMD∶S_梯形ABMC=2∶3是否仍成立？请说明理由。
（3）若A的坐标（t，0）（t＞0），又将条件y=x²改为y=ax²（a＞0），其他条件不变，那么x_C、x_D和y_H又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明。

Answer 1

解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），且直线OC的函数解析式为y=x，
∴点M的坐标为（2，2），易得S_△CMD=1，S_梯形ABMC=，
∴S_△CMD∶S_梯形ABMC=2∶3，即结论①成立，
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，则
，即，
∴直线CD的解析式为y=3x-2，
由上述可得点H的坐标为（0，-2），即y_H=-2，
∴x_C·x_D=-y_H，即结论②成立；
（2）结论S_△CMD∶S_梯形ABMC=2∶3仍成立，
理由如下：∵点A的坐标为（t，0），（t＞0），
则点B的坐标为（2t，0），
从而点C的坐标为（t，t²），点D的坐标为（2t，4t²），
设直线OC的解析式为y=kx，则t²=kt，得k=t，
∴直线OC的解析式为y=tx，
又设M的坐标为（2t，y），
∵点M在直线OC上，
∴当x=2t时，y=2t²，
∴点M的坐标为（2t，2t²），
∴S_△CMD∶S_梯形ABMC=·2t²·t∶（t²+2t²）·t=t³∶（t³）=；
（3）x_C，x_D和y_H有关数量关系x_C·x_D=-y_H，
由题意，当二次函数的解析式为y=ax²（a＞0），且点A的坐标为（t，0）时，
点C的坐标为（t，at²），点D的坐标为（2t，4at²）
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则，得，
∴CD的解析式为y=3atx-2at²，
则H的坐标为（0，-2at²）即y_H=-2at²，
∵x_C·x_D=t·2t=2t²，
∴x_C·x_D=-y_H。