题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．
（1）如图1，取点M（1，0），则点M到直线l：y＝
x﹣1的距离为多少？
（2）如图2，点P是反比例函数y＝
在第一象限上的一个点，过点P分别作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，记P到直线MN的距离为d0，问是否存在点P，使d0＝
？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图3，若直线y＝kx+m与抛物线y＝x2﹣4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边）．且∠AOB＝90°，求点P（2，0）到直线y＝kx+m的距离最大时，直线y＝kx+m的解析式．
【答案】（1）
；（2）点P（
，2）或（2，）；（3）y＝﹣2x+9
【解析】
（1）如图1，设直线l：y＝
x﹣1与x轴，y轴的交点为点A，点B，过点M作ME⊥AB，先求出点A，点B坐标，可得OA＝2，OB＝1，AM＝1，由勾股定理可求AB长，由锐角三角函数可求解；
（2）设点P（a，
），用参数a表示MN的长，由面积关系可求a的值，即可求点P坐标；
（3）如图3，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，设点A（a，a2﹣4a），点B（b，b2﹣4b），通过证明△AOC∽△BOD，可得ab﹣4（a+b）+17＝0，由根与系数关系可求a+b＝k+4，ab＝﹣m，可得y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1，可得直线y＝k（x﹣4）+1过定点N（4，1），则当PN⊥直线y＝kx+m时，点P到直线y＝kx+m的距离最大，由待定系数法可求直线PN的解析式，可求k，m的值，即可求解．
解：（1）如图1，设直线l：y＝x﹣1与x轴，y轴的交点为点A，点B，过点M作ME⊥AB，
∵直线l：y＝x﹣1与x轴，y轴的交点为点A，点B，
∴点A（2，0），点B（0，﹣1），且点M（1，0），
∴AO＝2，BO＝1，AM＝OM＝1，
∴AB＝
＝
＝
，
∵tan∠OAB＝tan∠MAE＝
，
∴
，
∴ME＝，
∴点M到直线l：y＝x﹣1的距离为；
（2）设点P（a，），（a＞0）
∴OM＝a，ON＝，
∴MN＝
＝
，
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∠MON＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴S△PMN＝S矩形PMON＝2，
∴×MN×d0＝2，
∴×
＝4，
∴a4﹣10a2+16＝0，
∴a1＝2，a2＝﹣2（舍去），a3＝2，a4＝﹣2（舍去），
∴点P（，2）或（2，），
（3）如图3，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，
设点A（a，a2﹣4a），点B（b，b2﹣4b），
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，且∠AOC+∠CAO＝90°，
∴∠BOD＝∠CAO，且∠ACO＝∠BDO，
∴△AOC∽△BOD，
∴
，
∴
∴ab﹣4（a+b）+17＝0，
∵直线y＝kx+m与抛物线y＝x2﹣4x相交于x轴上方两点A、B，
∴a，b是方程kx+m＝x2﹣4x的两根，
∴a+b＝k+4，ab＝﹣m，
∴﹣m﹣4（k+4）+17＝0，
∴m＝1﹣4k，
∴y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1，
∴直线y＝k（x﹣4）+1过定点N（4，1），
∴当PN⊥直线y＝kx+m时，点P到直线y＝kx+m的距离最大，
设直线PN的解析式为y＝cx+d，
∴
解得
∴直线PN的解析式为y＝x﹣1，
∴k＝﹣2，
∴m＝1﹣4×（﹣2）＝9，
∴直线y＝kx+m的解析式为y＝﹣2x+9．
