题目内容
【题目】如图，抛物线
经过
，
两点，与x轴交于另一点B．
求此抛物线的解析式；
若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点
不与点B重合
，点Q在线段MB上移动，且
，设线段
，
，求
与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
在同一平面直角坐标系中，两条直线
，
分别与抛物线交于点E、G，与中的函数图象交于点F、
问四边形EFHG能否成为平行四边形？若能，求m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）m、n之间的数量关系是
且
．
【解析】
将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出
的函数解析式；
过M作
轴于N，根据抛物线的函数解析式，即可得到M点的坐标，可分别在
和
中，用勾股定理表示出MN的长，由此可得到关于PM、x的函数关系式；由于
，易证得
∽
，根据相似三角形得到的比例线段即可得到关于PM、
的关系式，联立两式即可求出、x的函数关系式；
根据两根抛物线的解析式和两条直线的解析式，可求出E、F、G、H四点的坐标，即可得到EF、GH的长，由于
，若四边形EFHG是平行四边形，那么必有
，可据此求出m、n的数量关系．
解：
抛物线
经过
，
两点；
，
解得
．
抛物线的解析式为；
作
，垂足为N．
由，易得
，
，，
；
，
，
，
；
根据勾股定理有：
，
；
又
，
公共角
，
∽，
；
由
得：
；
，
与x的函数关系式为；
四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是：
且；
点E、G是抛物线分别与直线
，
的交点，
点E、G坐标为
，
；
同理，点F、H坐标为
，
，
；
四边形EFHG是平行四边形，，
，
；
由题意知
，
；
因此四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是且．
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