题目内容
在四边形中,,且.取的中点,连结.
(1)试判断三角形的形状;
(2)在线段上,是否存在点,使.若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.
(1)试判断三角形的形状;
(2)在线段上,是否存在点,使.若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.
(1)等腰直角三角形(2)存在,当时,有一点,;当时,有两点,
解:(1)在四边形中,,,
四边形为直角梯形(或矩形).
过点作,垂足为,,
又点是的中点,点是的中点,
又,
,
与是全等的等腰直角三角形,
,
是等腰直角三角形.
(2)存在点使.
以为直径,为圆心作圆.
当时,四边形为矩形,,
圆与相切于点,此时,点与点重合,存在点,使得,
此时.
当时,四边形为直角梯形,
,,圆心到的距离小于圆的半径,圆与相交,上存在两点,使,
过点作,在中,,
连结,则,
在直角三角形中,,
.
同理可得:.
综上所述,在线段上存在点,使.
当时,有一点,;当时,有两点,.
根据已知条件,得到四边形ABCD为直角梯形或矩形.
(1)过点P作PQ⊥BC,易证PQ=BQ=QC,则△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形,因而△PBC是等腰直角三角形.
(2)判断在线段BC上,是否存在点M,使AM⊥MD,利用相似三角形的性质与判定得出即可.
四边形为直角梯形(或矩形).
过点作,垂足为,,
又点是的中点,点是的中点,
又,
,
与是全等的等腰直角三角形,
,
是等腰直角三角形.
(2)存在点使.
以为直径,为圆心作圆.
当时,四边形为矩形,,
圆与相切于点,此时,点与点重合,存在点,使得,
此时.
当时,四边形为直角梯形,
,,圆心到的距离小于圆的半径,圆与相交,上存在两点,使,
过点作,在中,,
连结,则,
在直角三角形中,,
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同理可得:.
综上所述,在线段上存在点,使.
当时,有一点,;当时,有两点,.
根据已知条件,得到四边形ABCD为直角梯形或矩形.
(1)过点P作PQ⊥BC,易证PQ=BQ=QC,则△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形,因而△PBC是等腰直角三角形.
(2)判断在线段BC上,是否存在点M,使AM⊥MD,利用相似三角形的性质与判定得出即可.
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