题目内容

如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=
1
x
的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．
（1）图1中的每一个小正方形的面积是
1
3
1
3
；
（2）按照图1→图2→图→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是
n2+1
n(n+1)(2n+1)
n2+1
n(n+1)(2n+1)
．（用含n的代数式表示）
分析：（1）作PA⊥y轴于A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，如图1，设每一个小正方形的边长为a，证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，利用相似比得到
OB
OC
=
AP
AB
=
CE
ED
=
a
a
=1，再分别在在RtOBC和Rt△ABP中，利用勾股定理得到OB=
a
2
，AB=AP=
2
2
a，则P点坐标为（
2a
2
，
3a
2
），然后把P点坐标代入反比例函数解析式得到a2=
1
3
；
（2）对于如图2、图3、图4利用同样的方法可得到每一个小正方形的面积，然后把计算的结果进行变形，观察其中的规律，可发现第n个图每一个小正方形的面积=
n2+1
n(n+1)(2n+1)
．
解答：解：（1）作PA⊥y轴于A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，如图1，
设每一个小正方形的边长为a，
易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴
CE
OB
=
DE
OC
，
CE
AP
=
DE
AB
，
∴
OB
OC
=
AP
AB
=
CE
ED
=
a
a
=1，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB2+OC2=BC2=a2，OB=OC，
∴OB=
a
2
，
在Rt△ABP中，PB=2a，
∵AB2+AP2=BP2=4a2，AB=AP，
∴AB=AP=
2
2
a，
∴OA=
3a
2
，
∴P点坐标为（
2a
2
，
3a
2
），
∴
2a
2
•
3a
2
=1，
∴a2=
1
3
；

（2）如图2，同样得到Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴
CE
OB
=
DE
OC
，
CE
AP
=
DE
AB
，
∴
OB
OC
=
AP
AB
=
CE
ED
=
2a
a
=2，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB2+OC2=BC2=a2，OB=2OC，
∴OB=
2a
5
，
在Rt△ABP中，PB=3a，
∵AB2+AP2=BP2=9a2，AB=2AP，
∴AB=
3a
5
，AP=
6a
5

∴OA=
5a
5
，
∴P点坐标为（
6a
5
，
5a
5
），
∴
6a
5
•
5a
5
=1，
∴a2=
5
30
；
如图3，易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴
CE
OB
=
DE
OC
，
CE
AP
=
DE
AB
，
∴
OB
OC
=
AP
AB
=
CE
ED
=
3a
a
=3，
同理可得a2=
10
84
；
如图4，易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴
CE
OB
=
DE
OC
，
CE
AP
=
DE
AB
，
∴
OB
OC
=
AP
AB
=
CE
ED
=
4a
a
=4，
同理可得a2=
17
180
；
∵第1个图每一个小正方形的面积=
1
3
=
2
2×3
=
12+1
1×(1+1)×(2+1)
；
第2个图每一个小正方形的面积=
5
30
=
5
6×5
=
22+1
2×(2+1)×(2×2+1)
；
第3个图每一个小正方形的面积=
10
12×7
=
32+1
3×(3+1)(2×3+1)
；
第4个图每一个小正方形的面积=
17
180
=
17
4×5×9
=
42+1
4×(4+1)(2×4+1)
，
∴第n个图每一个小正方形的面积=
n2+1
n(n+1)(2n+1)
．
故答案为（1）
1
3
；（2）
n2+1
n(n+1)(2n+1)
．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象的点的坐标满足其函数解析式；熟练运用正方形的性质、相似三角形的相似比和勾股定理进行计算．
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（1）图1中的每一个小正方形的面积是______；
（2）按照图1→图2→图→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是______．（用含n的代数式表示）
作业宝

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