Question

把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm²，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

Answer 1

解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。
则，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴剪掉的正方形的边长为9cm。
②侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm²，
则y与x的函数关系为：，即 ，即，
∴x=10时，y最大=800。
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。
（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。
，
解得：（不合题意，舍去），。
∴剪掉的正方形的边长为15cm。此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。