Question

把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．

（1）要使折成的长方形盒子的底面积为324cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？
（2）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知图形利用边长与面积之间的关系得出解析式即可；
（2）利用长方形盒子的侧面积为：（40-2x）×x×4得出即可．

解答：解：（1）设剪掉的正方形的边长为xcm，则
（40-2x）²=324，
解得：x₁=29（不合题意舍去），x₂=11，
答：剪掉的正方形的边长为11cm；

（2）侧面积有最大值，设剪掉的正方形的边长为xcm，则
盒子的侧面积y=4（40-2x）x=-8x²+160x=-8（x-10）²+800，
∴当x=10时，y_最大=800，
即当剪掉的正方形边长为10cm时，长方形盒子的侧面最大为800cm²．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，利用已知得出剪掉的正方形边长与侧面积的函数关系式是解题关键．