Question

如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（4，0）点P是直线y=-0.5x+3在第一象限内的一点，O是原点．
（1）设P点的坐标为（x，y），试用它的纵坐标y表示△OPA的面积S；
（2）S与y是怎样的函数关系它的自变量y的取值范围是什么？
（3）如果用P的横坐标x表示△OPA的面积S，S与x是怎样的函数关系它的自变量x的取值范围是什么？
（4）在直线y=-0.5x+3上求一点Q，使△QOA是以OA为底的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）△OPA的底边是OA=4，OA边上的高等于P点的纵坐标，面积就可以得到；
（2）根据（1）中得到的函数可以判断函数的类型，进而判断自变量的取值范围；
（3）把y=-0.5x+3代入（1）中的解析式，就可以得到s与x的关系式；
（4）△QOA是以OA为底的等腰三角形，则Q在OA的垂直平分线上，因而Q的横坐标是2，代入一次函数解析式就可以得到点的坐标．

解答：解：（1）∵P点的坐标为（x，y），
∴OA边上的高长为y
∴S=

1

2

×4y=2y；
（2）由（1）可知S是y的正比例函数，0＜y＜3；
（3）由于点P在直线y=-0.5x+3，
∴点P的纵坐标为-0.5x+3，
∴S=

1

2

×4y=-x+6，0＜x＜6；
（4）∵Q在线段OA的垂直平分线上，因而横坐标是2，把x=2代入y=-0.5x+3，得到y=2，因而Q的坐标是（2，2）．

点评：本题是函数与三角形的综合题，正确确定三角形的面积是解决本题的关键．