题目内容

【题目】如图,正方形ABCD的边长为8MAB的中点,PBC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P

1)当BP   时,MBPDCP

2)当⊙P与正方形ABCD的边相切时,求BP的长;

3)设⊙P的半径为x,请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围.

【答案】1;(23;(3

【解析】

1)设BP=a,则PC=8-a,由△MBP~△DCP,代入计算可得;

2)分别求出⊙P与边CD相切时和⊙P与边AD相切时BP的长即可得;

3)①当PM=5时,⊙P经过点M,点C;②当⊙P经过点M、点D时,由PC2+DC2=BM2+PB2,可求得BP=7,继而知.据此可得答案.

1)设BP=a,则PC=8-a

AB=8MAB中点,

AM=BM=4

∵△MBP~△DCP

,即

解得

故答案为:

2)如图1,当⊙P与边CD相切时,

PC=PM=x

RtPBM中,∵PM2=BM2+PB2

x2=42+8-x2

x=5

PC=5BP=BC-PC=8-5=3

如图2,当⊙P与边AD相切时,


设切点为K,连接PK

PKAD,四边形PKDC是矩形.

PM=PK=CD=2BM

BM=4PM=8

RtPBM中,

综上所述,BP的长为3

3)如图1,当PM=5时,⊙P经过点M,点C

如图3,当⊙P经过点M、点D时,


PC2+DC2=BM2+PB2

42+BP2=8-BP2+82

BP=7

综上,

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