题目内容
【题目】如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.
(1)当BP= 时,△MBP~△DCP;
(2)当⊙P与正方形ABCD的边相切时,求BP的长;
(3)设⊙P的半径为x,请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围.
【答案】(1);(2)3或
;(3)
【解析】
(1)设BP=a,则PC=8-a,由△MBP~△DCP知,代入计算可得;
(2)分别求出⊙P与边CD相切时和⊙P与边AD相切时BP的长即可得;
(3)①当PM=5时,⊙P经过点M,点C;②当⊙P经过点M、点D时,由PC2+DC2=BM2+PB2,可求得BP=7,继而知.据此可得答案.
(1)设BP=a,则PC=8-a,
∵AB=8,M是AB中点,
∴AM=BM=4,
∵△MBP~△DCP,
∴,即
,
解得,
故答案为:.
(2)如图1,当⊙P与边CD相切时,
设PC=PM=x,
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8-x)2,
∴x=5,
∴PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.
如图2,当⊙P与边AD相切时,
设切点为K,连接PK,
则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形.
∴PM=PK=CD=2BM,
∴BM=4,PM=8,
在Rt△PBM中,.
综上所述,BP的长为3或.
(3)如图1,当PM=5时,⊙P经过点M,点C;
如图3,当⊙P经过点M、点D时,
∵PC2+DC2=BM2+PB2,
∴42+BP2=(8-BP)2+82,
∴BP=7,
∴.
综上,.

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