Question

如图，在平面直角坐标系中，△OAB的外接圆交y轴于点C，已知点A的坐标（12，0），点B的坐标（，），过C点作圆的切线交x轴于点D，连接BC．
（1）求证：线段AB长度为12；
（2）求直线CD的解析式；
（3）设点E、F分别在边AB、AD上运动，且EF平分四边形ABCD的周长．试问，当线段AE等于多少时，△AEF的面积最大．

Answer 1

解：（1）证明：过点B作BM⊥OA于M，
∴MB=，OM=．
∵OA=12，
∴AM=12-=，
∴AB==12；

（2）连接AC，作BN⊥OC于N，
∵∠AOC=90°，
∴AC是直径，
∴∠ABC=∠AOC=90°．
∵AB=AO=12，AC=AC，
∴△AOC≌△ABC，
∴BC=OC．
∵∠NBM=∠CBA=90°，
∴△AMB∽△CNB，
∴，
∴，
∴BC=5，
∴OC=5，
∴C（0，5）．
∵CD切圆于点C，
∴∠DCA=90°=∠COD=∠COA，
∴∠CAO+∠ACO=∠ACO+∠DCO，
∴∠DCO=∠CAO，
∴△COD∽△CAO，
∴，
∴，
∴OD=，
∴D（-，0）．
设直线CD的解析式为：y=kx+b，则
，
解得：．
∴直线CD的解析式为：y=+5；

（3）设AE=t，CD==，
∴四边形ABCD的周长为：12+5+++12=36.5，
∴AF=18.25-t．
作EH⊥OA于H，
∴EH∥BM，
∴△AHE∽△AMB，
∴，
∴，
∴EH=t，
∴S_△AEF==，
∴当t=-=-=时，△AEF的面积最大．
分析：（1）过点B作BM⊥OA于M，由点B、点A的坐标根据勾股定理就可以求出AB的长，从而求出结论．
（2）连接AC，作BN⊥OC于N，由圆周角的性质可以得出AC是直径，再由（1）的结论可以得出△AOC≌△ABC，而得出BC=OC，利用△ABM∽△CNB，可以求出BC，而求出C点的坐标，再根据切线的性质，由△AOC∽△COD，求出OD的值而求出D的坐标，最后由待定系数法就可以直接求出直线CD的解析式．
（3）作EH⊥OA于H，由勾股定理可以求出CD的值，可以求出四边形ABCD的周长，设AE=t，由条件可以表示出AF，由△AHE∽△AMB可以表示出EH，由三角形的面积公式表示出△AEF的面积，从而根据对称轴得出结论．
点评：本题考查了切线的性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的最值，三角形的面积，相似三角形的判定与性质及勾股定理的运用．