Question

已知Rt△ABC中，∠A=30゜，∠C=90゜，D为射线AB上一动点，经过点C的⊙O与直线AB相切于点D，交射线AC于点E．
（1）如图1，点D在边AC上，若AB=12，求⊙O的半径；
（2）如图2，CD平分∠ACB，⊙O的半径为1，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）连结OD，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=6，由点O在边AC上，∠ACB=90°可得到BC为⊙O的切线，而⊙O与直线AB相切于点D，根据切线的性质和切线长定理得BD=BC=6，OD⊥AB，所以AD=6，然后再次根据含30度的直角三角形三边的关系求OD；
（2）作OH⊥CE于H，EF⊥AD于F，连结OC、OD、OE，根据切线的性质得OD⊥AB，根据圆周角定理得∠DOE=2∠DCE=90°，易得四边形ODFE为正方形，所以EF=OE=1，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出AE、HE；由于OH⊥CE根据垂径定理得CE=2EH，最后利用AC=CE+AE计算即可．

解答：解：（1）连结OD，如图1，
∵∠A=30゜，∠C=90゜，AB=12，
∴BC=

1

2

AB=6，
∵点O在边AC上，
∴BC为⊙O的切线，
而⊙O与直线AB相切于点D，
∴BD=BC=6，OD⊥AB，
∴AD=6，
在Rt△AOD中，OD=

3

3

AD=2

3

，
即⊙O的半径为2

3

．

（2）作OH⊥CE于H，EF⊥AD于F，连结OC、OD、OE，如图2，
∵⊙O与直线AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCE=45°，
∴∠DOE=2∠DCE=90°，
而OD=OE，
∴四边形ODFE为正方形，
∴EF=OE=1，
在Rt△AEF中，AE=2EF=2，
∵OE∥AB，
∴∠OEC=30°，
在Rt△OEH中，OH=

1

2

OE=

1

2

，
∴EH=

3

OH=

3

2

，
∵OH⊥CE，
∴CH=EH，
∴CE=2EH=

3

，
∴AC=CE+AE=2+

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．