Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-

3

4

x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A的坐标．
（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出有几种情况．

Answer 1

分析：（1）利用直线y=x+1与y=-

3

4

x+3交于点A，直接联立函数解析式求出即可；
（2）当△CBD为等腰三角形时，有三种情况当BD₁=D₁C时，当BC=BD₂时，当CD₃=BC分别得出即可；
（3）以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．

解答：解：（1）由题意，得：

y=x+1 y=- 3 4 x+3

，
解得：

x= 8 7 y= 15 7

，
∴点A的坐标为（

8

7

，

15

7

）．

（2）当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．
在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，
∴x=-1，点B的坐标为（-1，0）．
在y=-

3x

4

+3中，当y=0时，-

3

4

x+3=0，
∴x=4，
点C的坐标为（4，0）．
∴BC=5．
①当BD₁=D₁C时，过点D₁作D₁M₁⊥x轴，垂足为点M₁，则BM₁=M₁C=

1

2

BC．
∴BM₁=

5

2

，OM₁=

5

2

-1=

3

2

，x=

3

2

，
∴y=-

3

4

×

3

2

+3=

15

8

，点D₁的坐标为（

3

2

，

15

8

）．
②当BC=BD₂时，过点D₂作D₂M₂⊥x轴，垂足为点M₂，则D₂M₂²+M₂B²=D₂B²．
∵M₂B=-x-1，D₂M₂=-

3

4

x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-

3

4

x+3）²=5²，
解得：x₁=-

12

5

，x₂=4（舍去）．此时，y=-

3

4

×（-

12

5

）+3=

24

5

，
∴D₂的坐标为（-

12

5

，

24

5

），
③当CD₃=BC时，CB=5，CD₃=5，此时D₃坐标为（0，3），
当CD₄=BC时，BC=CD₄，=5，M₄D₄=OD₃=3，CO=CM₄=4，则D点坐标为（8，-3）．（6分）
由此可得点D的坐标分别为D₁（

3

2

，

15

8

），D₂（-

12

5

，

24

5

），D₃（0，3），D₄（8，-3）．

（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．（8分）

点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及两直线交点的求法以及平行四边形的判定等知识，注意分类讨论思想的应用不要漏解．