Question

如图，抛物线y=-x²+3x-n经过点C（0，4），与x轴交于两点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）将点C（0，4）代入抛物线y=-x²+3x-n即可得到n的值，从而求出二次函数解析式；
（2）由图可知，当P位于二次函数顶点时△ABP面积的最大，求出函数与x轴的交点及函数最值即可求出△ABP面积的最大值．

解答：解：（1）将-n=4，即n=-4，
故函数解析式为y=-x²+3x+4；

（2）可见，当P位于二次函数顶点时△ABP面积的最大，
∵y=-x²+3x+4=-（x²-3x+

9

4

-

9

4

）+4=-（x²-3x+

9

4

）+

9

4

+4=-（x-

3

2

）²+

25

4

，
∴二次函数顶点坐标为（

3

2

，

25

4

）．
当y=0时，-x²+3x+4=0，
解得，x₁=-1，x₂=4．
S_{△ABP最大值}=

1

2

×5×

25

4

=

125

8

．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与x轴的交点，综合性较强．