Question

如图，已知△ABC的面积为5，点M在AB边上移动（点M与点A、B不重合），MN∥BC，MN交AC于点N，连接BN．设

AM

AB

=x，S_△MBN=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）点E、F分别是边AB，AC的中点，设△MBN与△EBF的公共部分的面积为S，试用含x的代数式表示S；
（3）当第（2）问中的S=

1

5

时，试确定x的值．（不必写出解题过程）

Answer 1

分析：（1）由MN∥BC可知△AMN∽△ABC，得到S_△AMN：S_△ABC=（

AM

AB

）²，即S_△AMN：5=x²，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得S_△MBN=-5x²+5x，即y=-5x²+5x（0＜x＜1）；
（2）根据FE∥BC∥MN可知，
①当0＜x≤

1

2

时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△MBN相似，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得S=

5x

4-4x

；
②当

1

2

＜x＜1时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△EBF相似，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得S=5（1-x）²；
（3）当S=

1

5

时，x=

4

29

或x=

4

5

．

解答：解：（1）∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC
∴S_△AMN：S_△ABC=（

AM

AB

）²，
即S_△AMN：5=x²，
∵S_△MBN：S_△AMN=

1

x

-1，
∴S_△MBN=-5x²+5x
∴y=-5x²+5x（0＜x＜1）；

（2）∵E、F分别是边AB，AC的中点，∴FE∥BC∥MN，
①当0＜x≤

1

2

时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△MBN相似，
∴y：S=4（1-x）²，∴S=

5x

4-4x

，
②当

1

2

＜x＜1时，△MBN与△EBF的公共部分的三角形与△EBF相似，
∴S：S_△BEF=4（1-x）²，
∵S_△BEF=

5

4

，
∴S=5（1-x）²；

（3）当S=

1

5

时，x=

4

29

或x=

4

5

．

点评：主要考查了相似三角形的性质和根据实际问题列二次函数关系式，其中涉及到直接开平方法解一元二次方程的方法；要会根据几何图形之间的关系列一元二次方程，利用相似三角形的相似比是解题的关键．