Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义： 如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1 ， A2B2C2D2 ， AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．

（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）． ①当t=2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；
②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；

（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y= （x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）35；②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40， ∴由定义可知，t=﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），
设AC表达式为y=kx+b，
∴ 或
∴ 或
∴y=5x+13或
（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示：

∵点D（1，1），

∴OD所在的直线表达式为y=x，

∴点E的坐标为（2，2），

∴OE= = ，

∴⊙H的半径最小r= ，

②当点E的纵坐标为1时，如图2所示：

1= ，解得x=4，

∴OE═ = ，

∴⊙H的半径最大r= ，

∴ ．

【解析】解：（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形， ∴最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，
∴最优覆盖矩形的面积为：7×5=35；