Question

【题目】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．

①写出旋转角α的度数；

②求证：EA′+EC＝EF；

（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】（1）①105°，②见解析；（2）

【解析】

（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题，

②连接A′F，设EF交CA′于点O，在EF时截取EM=EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．

（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF=PB′，推出PA+PF=PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．

①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α为105°．

②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．

∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，

∴∠CEA′＝120°，

∵FE平分∠CEA′，

∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，

∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，

∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，

∴△FOC∽△A′OE，

∴＝，

∴＝，

∵∠COE＝∠FOA′，

∴△COE∽△FOA′，

∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，

∴△A′CF是等边三角形，

∴CF＝CA′＝A′F，

∵EM＝EC，∠CEM＝60°，

∴△CEM是等边三角形，

∠ECM＝60°，CM＝CE，

∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，

∴∠FCM＝∠A′CE，

∴△FCM≌△A′CE（SAS），

∴FM＝A′E，

∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．

（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．

由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，

∴△A′EF≌△A′EB′，

∴EF＝EB′，

∴B′，F关于A′E对称，

∴PF＝PB′，

∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，

在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，

∴B′M＝CB′＝1，CM＝，

∴AB′＝＝＝．

∴PA+PF的最小值为．